de Travail du Centre d ’ Economie de la Sorbonne Time , Bifurcations and Economic Applications

In this paper, we apply first and higher-order Euler discretizations to compare dynamic systems in discrete and continuous time. In addition, we stress the difference between backward and forward-looking approximations. Focussing on local bifurcations, we find that time representation is neutral and asymptotically neutral for models with saddle-node and Hopf bifurcations, respectively. Conversely, it is far from neutral for models with flip bifurcations (in discrete time), even though these bifurcations disappear under a critical discretization step or under higher-order Euler discretizations. In the second part, we apply the theory to popular economic models. Discretetime dynamics of capital accumulation, such as Solow (1956), can be recovered under first-order backward-looking discretizations because of the predetermined nature of capital. Models of capital accumulation with intertemporal optimization, such as Ramsey (1928), need hybrid discretizations because of the forwardlooking nature of the Euler equation, where consumption behaves as jumping variable. Résumé Dans ce papier, nous effectuons une comparaison des systèmes dynamiques en temps discret et en temps continu fondée sur des discrétisations d’Euler du premier ordre et d’ordre supérieur. Nous montrons que l’équivalence entre le modèle discret et la version discrétisée du modèle continu peut être obtenue généralement par une approximation tournée vers le passé (backward-looking), une approximation tournée vers le futur (forward-looking) et dans certains cas par une approximation hybride. Pour une analyse qui se limite aux bifurcations locales élémentaires, on trouve que la représentation du temps est neutre dans les modèles avec bifurcations de type saddle-node et asymptotiquement neutre pour des bifurcations Hopf. Par contre, ce résultat de neutralité ne tient plus en présence de bifurcations flip (en temps discret), même si ces bifurcations disparaissent en dessous d’une valeur critique du pas de discrétisation ou au dessus d’un certain ordre de discrétisation. Dans une deuxième partie du papier, nous illustrons nos résultats théoriques en appliquant la méthodologie à un certain nombre de modèles économiques familiers. On retrouve la dynamique d’accumulation du capital (variable prédéterminée) à la Solow (1956) en temps discret, à partir d’une discrétisation au premier ordre backward-looking de sa version en temps continu. Dans les modèles de croissance à la Ramsey (1928), avec optimisation intertemporelle, cette équivalence entre temps discret et temps continu ne peut provenir que d’une discrétisation hybride : à cette approximation backward-looking de la dynamique du capital doit s’adjoindre une discrétisation forward-looking de la dynamique de la consommation en raison de la nature tournée vers le futur de l’équation d’Euler.